机器学习基础算法

摘要

本文深入浅出地介绍了扩散模型的原理与应用，从基础的前向加噪过程到逆向去噪生成，通过数学公式和代码示例解析这一AI生成领域的核心技术。我们将探讨DDPM、条件生成等关键技术，并分析其优缺点和实际应用场景。

引言

扩散模型是近年来AI生成领域最具突破性的技术之一，它通过模拟物理扩散过程，从纯噪声逐步生成高质量的图像、音频和文本。

与传统的GAN和VAE相比，扩散模型具有训练稳定、生成质量高等优势，已成为DALL-E、Stable Diffusion等知名AI艺术生成工具的核心技术。

图1: 扩散模型从噪声到清晰图像的生成过程

前向加噪过程

前向过程是一个马尔可夫链，逐步向原始数据添加高斯噪声，直到数据完全变为纯噪声。

\( q(x_t|x_{t-1}) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{1-\beta_t}x_{t-1}, \beta_tI) \)

其中，\( \beta_t \)是噪声调度参数，控制每一步的噪声强度。

闭式解

通过重参数化技巧，我们可以直接计算任意时间步的噪声图像：

\( x_t = \sqrt{\bar{\alpha}_t}x_0 + \sqrt{1-\bar{\alpha}_t}\epsilon \)

其中，\( \alpha_t = 1 - \beta_t \)，\( \bar{\alpha}_t = \prod_{s=1}^t \alpha_s \)，\( \epsilon \sim \mathcal{N}(0, I) \)

逆向去噪过程

逆向过程通过学习噪声预测来逐步去噪，从纯噪声重建原始图像。

\( p_\theta(x_{t-1}|x_t) = \mathcal{N}(x_{t-1}; \mu_\theta(x_t, t), \Sigma_\theta(x_t, t)) \)

神经网络需要预测添加到图像中的噪声，从而学习逆向扩散过程。

优缺点

优点：训练稳定，生成质量高，理论框架完善
缺点：推理速度慢，需要多步采样，计算成本高

训练目标

扩散模型的训练目标是最小化预测噪声与真实噪声之间的差异。

\( L(\theta) = \mathbb{E}_{t,x_0,\epsilon}[\|\epsilon - \epsilon_\theta(x_t, t)\|^2] \)

其中，\( t \)均匀采样自[1, T]，\( \epsilon_\theta \)是噪声预测网络。

图2: 扩散模型的训练流程示意图

条件生成

通过引入条件信息（如文本描述、类别标签等），可以实现可控的图像生成。

\( p_\theta(x_{t-1}|x_t, c) = \mathcal{N}(x_{t-1}; \mu_\theta(x_t, t, c), \Sigma_\theta(x_t, t, c)) \)

条件信息c通过交叉注意力机制融入UNet架构中，指导生成过程。

Classifier-Free Guidance

一种常用的条件生成技术，通过插值有条件和无条件预测来增强条件控制：

\( \hat{\epsilon}_\theta(x_t, c) = \epsilon_\theta(x_t, \emptyset) + s \cdot (\epsilon_\theta(x_t, c) - \epsilon_\theta(x_t, \emptyset)) \)

其中s是引导强度系数，控制条件影响的强度。

应用场景

扩散模型在多个领域展现出强大的生成能力：

图像生成: 文本到图像生成、图像修复、超分辨率
音频处理: 音乐生成、语音合成、音频修复
分子设计: 药物分子生成、材料设计
视频生成: 视频预测、视频编辑

图3: Stable Diffusion根据文本提示生成的高质量图像

代码实现

下面是一个简化的扩散模型实现，使用PyTorch框架：

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

class DiffusionModel(nn.Module):
    def __init__(self, num_timesteps=1000):
        super().__init__()
        self.num_timesteps = num_timesteps
        self.betas = self._linear_beta_schedule(num_timesteps)
        self.alphas = 1.0 - self.betas
        self.alpha_bars = torch.cumprod(self.alphas, dim=0)
        
        # 噪声预测网络（简化版UNet）
        self.eps_theta = nn.Sequential(
            nn.Conv2d(3, 64, 3, padding=1),
            nn.ReLU(),
            nn.Conv2d(64, 3, 3, padding=1)
        )
    
    def _linear_beta_schedule(self, num_timesteps):
        return torch.linspace(1e-4, 0.02, num_timesteps)
    
    def forward(self, x, t):
        # 前向加噪过程
        sqrt_alpha_bar = torch.sqrt(self.alpha_bars[t])
        sqrt_one_minus_alpha_bar = torch.sqrt(1 - self.alpha_bars[t])
        epsilon = torch.randn_like(x)
        x_t = sqrt_alpha_bar * x + sqrt_one_minus_alpha_bar * epsilon
        return x_t, epsilon
    
    def loss(self, x0):
        t = torch.randint(0, self.num_timesteps, (x0.shape[0],))
        x_t, epsilon = self.forward(x0, t)
        epsilon_pred = self.eps_theta(x_t)
        return nn.functional.mse_loss(epsilon_pred, epsilon)

采样过程

逆向采样生成新图像：

def sample(self, shape, device):
    x = torch.randn(shape, device=device)
    for t in reversed(range(self.num_timesteps)):
        z = torch.randn(shape, device=device) if t > 0 else 0
        alpha_t = self.alphas[t]
        alpha_bar_t = self.alpha_bars[t]
        sigma_t = torch.sqrt((1 - alpha_bar_t) / (1 - alpha_bar_t) * self.betas[t])
        
        epsilon_pred = self.eps_theta(x)
        x = (x - (1 - alpha_t) / torch.sqrt(1 - alpha_bar_t) * epsilon_pred) / torch.sqrt(alpha_t)
        x = x + sigma_t * z
    return x

结论

扩散模型通过优雅的数学框架和稳定的训练过程，在生成式AI领域取得了显著成功。从DDPM到最新的Stable Diffusion 3，这一技术仍在快速发展。

未来的研究方向包括：

加速采样过程，减少推理时间
提高生成质量和多样性
扩展到3D生成和多模态任务
改善可控性和可解释性

扩散模型不仅推动了AI艺术创作的发展，也为科学发现和工程设计提供了新的工具和方法。